عینکی

دیدتان را به یادگیری متحول کنید.
0

تدریس فصل چهارم حسابان دوازدهم (مشتق)

تدریس فصل چهارم حسابان دوازدهم

شهربانو دوستی

درباره نویسنده
شهربانو دوستی هستم، مدیر و موسس وب سایت عینکی دبیر آموزش و پرورش و علاقه مند به سئو

تدریس فصل چهارم حسابان دوازدهم (مشتق)

تدریس فصل چهارم حسابان دوازدهم (مشتق)

شیب خط مماس

شیب خط مماس بر منحنی تابع f در نقطه ((A(a,f(a یا همان شیب منحنی در نقطه A از رابطه زیر به دست می آید:

(m=lim(x→a)⁡f(x)-f(a)/(x-a⁡

خط مماس بر منحنی

به خطی که از نقطه ((A(a,f(a بگذرد و شیب آن برابر حد فوق باشد، خط مماس بر منحنی تابع f  در نقطه ((A(a,f(a میگوییم.

نکته:اگر تابع f در نقطه x=a پیوسته باشد و ±∞=(m=lim(x→∞)⁡f(x)-f(a)/(x-a آنگاه به خط x=a مماس قائم بر نمودار تابع f در نقطه ((A(a,f(a می گوییم.

نکته: اگر x=a مماس قائم بر نمودار f نباشد و نیز (lim(x→a)⁡f(x)-f(a)/(x-a موجود نباشد، آنگاه مماس بر منحنی تابع f در نقطه ((A(a,f(a تعریف نمی شود.

 مشتق تابع در یک نقطه

فرض کنید تابع f در همسایگی نقطه x=a  تعریف شده باشد، اگر

(lim(x→a)⁡f(x)-f(a)/(x-a موجود و متناهی باشد، می گوییم تابع f در نقطه x=a مشتق پذیر و یا دارای مشتق است و مقدار این حد را با (f′(a نمایش می دهیم. بنابر این داریم:

(f′ (a)=lim(x→a)⁡f(x)-f(a)/(x-a

نکته: با استفاده از تغییر متغیر x=a+h تعریف مشتق به صورت مقابل در می آید:

f′ (a)=lim(h→0)⁡f(a+h)-f(a)/h

بنابر این مشتق تابع f در نقطه x=a به دو صورت مقابل است:

f′ (a)=lim(x→a)⁡f(x)-f(a)/(x-a)=lim(h→0)⁡f(a+h)-f(a)/h

به شرط آنگه حدود فوق موجود و متناهی باشد.

مشتق های راست و چپ

مشتق های راست و چپ تابع f را با (f′+ (a و (f′ (a نمایش داده و به صورت زیر تعریف می کنیم:

f′+ (a)=lim(x→a+ )⁡f(x)-f(a)/(x-a)=lim(h→0+ )⁡f(a+h)-f(a)/h

f′ (a)=lim(x→a- )⁡(f(x)-f(a))/(x-a)=lim(h→0 )⁡(f(a+h)-f(a))/h

ارتباط پیوستگی و مشتق پذیری

F در x=a مشتق پذیر← F در x=a پیوسته

F در x=a ناپیوسته ← F در x=a مشتق ناپذیر

F در x=a پیوسته⇍ F در x=a مشتق پذیر

نکته: مطالب فوق برای مشتق های یک طرفه نیز درست است.

 شرایط مشتق ناپذیری

تابع f در x=a مشتق ناپذیر است، هرگاه یکی از شرایط زیر برقرار باشد:

1- f  در x=a ناپیوسته باشد.

2-  f در x=a پیوسته باشد و مشتق های چپ و راست در x=a:

الف) هر دو موجود ولی نابرابر باشند.

ب) یکی متناهی و دیگری نامتنهاهی باشد.

نکته: نقطه مشتق پذیر x=a را در این حالت نقطه گوشه ای یا نقطه زاویه دار می نامند.

3- F در x=a پیوسته باشد و مشتق های چپ و راست در x=a:

الف) هر دو نامتناهی ولی برابر باشند.

ب) هر دو نامتناهی ولی نابرابر باشند.

نکته: نقطه مشتق پذیر در x=a را در قسمت الف نقطه عطف قائم و در قسمت ب نقطه بازگشتی می نامند.

خط مماس قائم

تابع f در x=a دارای مماس قائم است هر گاه:

1- f در x=a پیوسته باشد.

2- ∞-=(f’(a یا ∞+=(f’(a

 نقطه گوشه ای (زاویه دار)

x=a طول نقطه گوشه ای تابع f است هر گاه:

1- F در x=a پیوسته باشد.

2- (f′ (a و (f′+ (a هر دو عدد و نابرابر و یا حداکثر یکی از آن ها نامتناهی باشد.

 دسته بندی نقاط مشتق پذیر و  مشتق ناپذیر در توابع معروف

 

1-توابع چند جمله ای: روی R مشتق پذیرند و  نقطه مشتق ناپذیر ندارند.

2- توابع ((y=sin(p(x و (y=cos(p(x))  p(x چند جمله ای است: روی R مشتق پذیرند و  نقطه مشتق ناپذیر ندارند.

3- توابع کسری گویا: فقط در ریشه های مخرج کسر مشتق ناپذیرند.

4- توابع قدر مطلقی به فرم y=g(x)|f(x)|  f , g مشتق پذیر: در ریشه های ساده درون قدر مطلق مشتق ناپذیرند مگر آنکه بیرون قدر مطلق در آن ریشه ساده، عامل صفر کننده داشته باشد.

5- توابع رادیکالی:

الف: توابع رادیکالی با فرجه فرد به شکل (f(x)=2n+1√(x-a)m g(x

 که در آن g در x=a مشتق پذیر و g(a)≠0 و m وn اعداد طبیعی هستند، در x=a وقتی مشتق پذیر است که m≥2n+1 و در حالتی که m<2n+1 باشد،f در x=a مشتق ناپذیر است.

ب- توابع رادیکالی با فرجه زوج به شکل (f(x)=n√(x-a)m g(x

 که در آن g در x=a مشتق پذیر و g(a)≠0 و m وn اعداد طبیعی هستند، در x=a وقتی پشتق پذیر است که m زوج بوده و m>2n و f در همسایگی  x=a  تعریف شده باشد. در غیر این صورت f در x=a مشتق ناپذیر است.

6- توابع چند ضابطه ای: نقاط مشتق ناپذیر این توابع به یکی از دو صورت زیر است:

الف) نقاطی که هر ضابطه با توجه به دامنه اش در آن نقاط مشتق ناپذیر است.

ب) احتمالاً نقاط مرزی تابع که باید مشتق پذیری در این نقاط بررسی شود.

7- توابع شامل براکت: فرض کنید توابع f و g در x=a مشتق پذیر بوده و

[(h(x)=f(x)[g(x در این صورت:

الف) اگر g(a)∉z آنگاه تابع h در x=a پیوسته و مشتق پذیر است.

ب) اگر g(a)∈z و x=a طول نقطه مینیمم نسبی تابع g باشد آنگاه تابع h ر x=a مشتق پذیر است.

پ) اگر g(a)∈z و x=a ریشه مضاعف یا مکرر تابع f باشد آنگاه تابع h در x=aمشتق پذیر است.

ت)اگر  g(a)∈z و x=a ریشه ساده تابع f بوده و تابع [(g(x]  در x=a حد داشته باشد باز هم تابع h در x=a مشتق پذیر است.

ث) در غیر صورت های فوق تابع h در x=a مشتق ناپذیر می باشد.

8- مشتق پذیری روی یک بازه

الف) تابع f روی بازه  (a,b) مشتق پذیر است هرگاه در هر نقطه از این بازه مشتق پذیر باشد.

ب) تابع f روی بازه [a,b] مشتق پذیر است هرگاه در بازه (a,b) مشتق پذیر باشد و در x=a مشتق راست  و درx=b مشتق چپ داشته باشد.

پ) تابع f روی بازه [a,b) مشتق پذیر است هرگاه در بازه (a,b) مشتق پذیر باشد و در x=a مشتق راست  داشته باشد.

ت) تابع f روی بازه (a,b] مشتق پذیر است هرگاه در بازه (a,b) مشتق پذیر باشد و در x=b مشتق چپ  داشته باشد.

تابع مشتق

تابع مشتق تابع F به ازای هر x∈Df عبارت است از :

f′(x)=lim(h→0)⁡f(x+h)-f(x)/h

به شرط آنکه حد فوق موجود باشد.

نکته: تابع مشتق تابع (y=f(x را با نمادهای f′ (x),y′,dy/dx,df/dx نیز نمایش می دهند.

قواعد مشتق گیری

نکاتی در مورد مشتق گیری

1- اگر ضابطه ساده شدنی بود، بهتر است قبل از مشتق گیری آن را ساده کنیم.

2- اگر قانون تابع  f به صورت حاصل ضرب دو یا چند عمل باشد به طوری که یکی از آنها به ازای x=a صفر شود، برای محاسبه (f’(a کافی است از عامل صفر شونده مشتق گرفته و سپس x=a را در مشتق و عوامل غیر صفر جایگذاری کنیم.

نکته: اگر توان عامل صفر شونده بیشتر از 1 باشد، مشتق در آن نقطه برابر صفر می شود.

3- برای محاسبه مشتق توابع قدر مطلق در x=a به طوری که x=a ریشه درون قدر مطلق نباشد، ابتدا عبارت درون قدر مطلق را در همسایگی x=a تعیین علامت کرده و قدر مطلق را برداریم و سپس از آن مشتق می گیریم.

4- برای محاسبه مشتق توابع شامل براکت در x=a ابتدا حاصل براکت را در همسایگی x=a به دست آورده و براکت را بر میداریم و سپس از آن مشتق می گیریم.

روش های محاسبه دامنه توابع مشتق

روش اول: تابع مشتق تابع f را می یابیم، و سپس دامنه تابع ‘f را تعیین می کنیم.

روش دوم: نقاط مشتق ناپذیر تابع f را تعیین می کنیم و آن ها را از دامنه تابع f  کم می کنیم.

روش های رسم نمودار ‘f

1- اگر ضابطه تابع f معلوم باشد، ابتدا ضابطه ‘f را محاسبه کرده و سپس نمودار آن را رسم می کنیم.

2- اگر تنها نمودار تابع f را در اختیار داشته باشیم، برای رسم نمودار تابع ‘f از نکته زیر استفاده می کنیم:

نکته: فرض کنید تابع f روی بازه i مشتق پذیر باشد، در این صورت:

الف) اگر نمودار f روی بازه I اکیداً صعودی باشد، آنگاه نمودار تابع ‘F در بازه I همواره بالای محور x ها قرار می گیرد.

ب) اگر نمودار f روی بازه I اکیداً نزولی باشد، آنگاه نمودار تابع ‘F در بازه I همواره زیر محور x ها قرار می گیرد.

پ) اگر نمودار f روی بازه I ثابت باشد، آنگاه نمودار تابع ‘F’ در بازه I همواره بر محور x ها منطبق خواهد بود.

ت) در هرنقطه از بازه I که مماس بر منحنی F افقی باشد، نمودار تابع ‘F در آن نقطه محور x ها را قطع می کند.

مشتق تابع مرکب

(h(x)=(fog)(x)⟹h′ (x)=g′ (x)f′g(x

نکته: اگر u تابعی از x باشد، آنگاه:

(y=f(u)⟹y′=u′ f′(u

قاعده زنجیری

اگر y تابعی از u و u تابعی از x باشد آنگاه:

dy/dx=dy/du×du/dx

 مشتق مرتبه دوم

اگر (y=f(x یک تابع باشد، آنگاه به (y’’=f’’(x مشتق تابع f می گوییم.

شرایط وجود مشتق مرتبه دوم

توابع f و’f در x=a پیوسته باشند.

 (f+′′ (a)=f-′′ (a و متناهی باشند.

خط مماس:خطی که شیب آن (f’(a بوده و از نقطه ((A(a,f(a می گذرد.

خط قائم: خطی که در نقطه ((A(a,f(a  بر خط مماس عمود است و لذا شیب آن

(-1)/(f′(a می باشد.

معادلات خطوط مماس و قائم

معادلات خطوط مماس و قائم بر منحنی f در نقطه ((A(a,f(a واقع بر منحنی به صورت زیر است:

خط مماس: (y-f(a)=f′(a)(x-a

خط قائم: (y-f(a)=-1/f′ (a) (x-a

نکته: معادله خطی که از نقطه ((A(a,f(a بگذرد و شیب آن ∞ باشد به صورت x=a است.

شرط مماس بودن دو منحنی بر هم

شرط اینکه دو منحنی (y=f(xو (y=g(x در x=a بر هم مماس باشند آن است که :

(f(a)=g(a),f′ (a)=g′(a

 اگر معادله تلاقی دو منحنی یعنی معادله (f(x)=g(x یک معادله درجه دوم باشد میتوان به جای دو شرط فوق  شرط  0=∆ را اعمال کرد.

آهنگ متوسط تغییر

آهنگ متوسط تغییر تابع f نسبت به x در بازه ای مانند [a,a+h] عبارت است از :

Δf/Δx=f(a+h)-f(a)/h

آهنگ متوسط تغییر تابع f نسبت به x وقتی متغییر x از x1 به x2 تغییر می کند برابر است با :

Δf/Δx=f(x2 )-f(x1)/x2-x1 

آهنگ لحظه ای تغییر

آهنگ لحظه ای یا آنی  تغییر  و یا به اختصار آهنگ تغییرات تابع f نسبت به x در x=a عبارت است از :

(lim(h→0)⁡f(a+h)-f(a)/h=f′(a

نکته: وقتی گفته می شود آهنگ تغییر مقصود آهنگ لحظه ای یا آنی تغییرات است و آهنگ متوسط تغییر به صراحت قید می شود.

آهنگ متوسط تغییر با شیب خط  قاطع و آهنگ لحظه ای تغییر با مفهوم مشتق در یک نقطه متناظر هستند.

نکته: آهنگ متوسط تغییرات تابع درجه دوم f(x)=ax2+bx+c نسبت به x روی بازه [α,β] با آهنگ آنی تغییرات تابع f در وسط این بازه یعنی x0=(α+β)/2 برابر است.

نکته: آهنگ لحظه ای تغییر تابع f نسبت به تابع g برابر است با :

(f′g=f′(x)/g′(x

سرعت و شتاب لحظه ای

 اگر معادله مکان یک متحرک بر حسب زمان  t برابر (x(t باشد، در این صورت:

الف) سرعت متوسط متحرک در فاصله زمانی [t1,t2] برابر است با:

v ̅=Δx/Δt=x(t2 )-x(t1)/t2-t1 

ب) سرعت لحظه ای متحرک در لحظه t=t0 برابر است با:

(v ̅(t0 )=x′(t0

پ) شتاب متوسط در فاصله زمانی [t1,t2] برابر است با:

a ̅=Δv/Δt=v(t2 )-v(t1)/t2-t1 

ت) شتاب لحظه ای متحرک در لحظهt=t0 برابر است با:

(a(t)=(v′) ̅(t0 )=x′′(t0

بررسی و توصیف حرکت یک متحرک

اگر (x(t معادله حرکت یک متحرک روی محور x ها باشد، در این صورت:

1- اگر (x(0 مکان اولیه متحرک و (x’(0 سرعت اولیه متحرک است.

2- در هر بازه زمانی که x’(t)>0 باشد، متحرک در جهت مثبت محور و در هر بازه زمانی که x’(t)<0  باشد متحرک در جهت منفی محور در حرکت است.

3- در لحظاتی که x(t)=0 است، متحرک از مبدا عبور می کند.

علامت و وضعیت یکنوایی آهنگ و مقایسه  آهنگ لحظه ای و متوسط تغییر

نکته: اگر تابع f روی بازه I مشتق پذیر و اکیداً صعودی یا اکیداً نزولی باشد، آنگاه آهنگ  تغییر متوسط f در این بازه همواره  مثبت  یا منفی و آهنگ  تغییر لحظه ای f در این بازه نامنفی یا نامثبت است.

فرض کنید تابع f روی بازه [a,b] مشتق پذیر باشد، در این صورت:

الف) اگر گودی یا تقعر منحنی f در این بازه رو به بالا باشد، آنگاه آهنگ  متوسط و لحظه ای تغییر f در این بازه اکیداً صعودی است.

ب) اگر گودی یا تقعر منحنی f در این بازه رو به پایین باشد، آنگاه آهنگ  متوسط و لحظه ای تغییر f در این بازه اکیداً نزولی است.

پ) اگر تابع f در این بازه تابعی خطی باشد، آنگاه آهنگ متوسط و لحظه ای تغییر f در این بازه ثابت است.

فرض کنید تابع f روی بازه [a,a+h] مشتق پذیر باشد، در این صورت با تغییر h:

الف) اگر گودی یا تقعر منحنی f در این بازه رو به بالا باشد، آنگاه آهنگ  متوسط تغییر f در بازه [a,a+h] از آهنگ لحظه ای تغییر f در a+h کوچکتر است.

 ب) اگر گودی یا تقعر منحنی f در این بازه رو به پایین باشد، آنگاه آهنگ  متوسط تغییر f در بازه [a,a+h] از آهنگ لحظه ای تغییر f در a+h بزرگتر است.

پ) اگر f تابعی خطی در این بازه باشد،آنگاه آهنگ  متوسط تغییر f در بازه [a,a+h] با آهنگ لحظه ای تغییر f در a+h برابر است.

یک دیدگاه دربارهٔ «تدریس فصل چهارم حسابان دوازدهم (مشتق)»

  1. بازتاب: تدریس فصل پنجم حسابان دوازدهم (کابرد مشتق) - مجموعه آموزشی عینکی

دیدگاهتان را بنویسید

نشانی ایمیل شما منتشر نخواهد شد.