چطور مسائل مربوط به نسبت ها را حل کنیم؟

حتما ببینید: فیلم آموزش ریاضی ششم (تناسب و درصد)

چطور مسائل مربوط به نسبت ها را حل کنیم؟

از نسبت ها برای مقایسه دو عدد یا بیشتر استفاده می شود.

روش های زیادی برای محاسبه نسبت ها وجود دارد، اما همه این روش ها دارای اصول یکسانی هستند.

برای حل مسائل مربوط به نسبت  مراحل زیر را انجام دهید:

یادگیری نسبت ها

1- باید بدانید از نسبت ها چگونه استفاده می شود. از نسبت ها، هم در دنیای واقعی و هم در دنیای اعداد برای مقایسه دو مقدار استفاده می شود.

البته برای مقایسه سه مقدار و بیشتر هم میتوان از نسبت ها استفاده کرد.

نسبت اعداد در فرمول های شیمیایی یا دستور العمل های آشپزی مثال های قابل لمس تری از کاربرد نسبت در دنیای واقعی هستند.

2- درک مفهوم نسبت.

همانطور که ذکر شد نسبت ها برای بیان حداقل رابطه بین دو مقدار است.

برای مثال کیکی که شامل دو فنجان آرد و یک فنجان شکر است دارای نسبت 2 به 1 است.

نکته:  از نسبت ها برای نشان دادن رابطه بین دو مقدار استفاده می شود، حتی اگر آن دو مقدار هم جنس نباشند( همانند نسبت های موجود در پخت کیک)

• برای مثال، در کلاسی که شامل 5 دختر و 10 پسر باشد، نسبت دختر ها به پسر ها 5 به 10 است.

این نسبت با تغییر تعداد دختر ها و پسر ها تغییر می کند و از آن برای مقایسه مقادیر استفاده می شود.

3- به روش بیان نسبت ها دقت کنید. نسبت ها را میتوان به صورت کلامی و یا به زبان ریاضی نوشت.

نکته: رایج ترین روش برای بیان نسبت ها در زمینه های غیر ریاضی،  روش کلامی (همانند مثال های بالا) است.

نکته: اصولاً برای بیان نسبت ها، از دو نقطه (:) استفاده می شود.

اگر بخواهیم نسبت دو عدد را بیان کنیم بین دو عدد دو نقطه قرار می دهیم. ( مانند 7:13)

برای بیان نسبت بیشتر از دو عدد بین هر دو عدد متوالی علامت دو نقطه را قرار می دهیم.( مانند 10:2:23)

• به عنوان مثال برای بیان نسبت تعداد دختر ها به پسر ها در کلاس به جای 5 دختر به 10 پسر از عبارت 5:10 استفاده می کنیم.

نکته: در بعضی مواقع برای بیان نسبت از علامت (/) استفاده می شود که البته نباید آن را با علامت تقسیم اشتباه گرفت.

• به عنوان مثال برای بیان نسبت تعداد دختر ها به پسر ها از عبارت 5/10  استفاده می شود.

روش استفاده از نسبت ها

1- ساده کردن نسبت ها. با نوشتن نسبت ها به صورت عبارت کسری میتوان عامل های مشترک در صورت و مخرج را تا حد امکان ساده کرد.

برای ساده کردن نسبت ها، جمله ها را به عامل های اولشان تجزیه کنید و عامل های مشترک را با هم ساده کنید.

• در مثال کلاس، نسبت 5 دختر به 10 پسر (5:10)، هر دو عامل دارای جمله مشترک 5 هستند.

پس هر دو را بر 5 تقسیم می کنیم تا نسبت 1 دختر به 2 پسر ( 1:2) به دست آید.

توجه داشته باشید که حتی با ساده کردن اعداد، نسبت آنها را در نظر داشته باشید.

در این مثال تعداد دانش آموزان 15 (نسبت 5:10) است نه 3 (نسبت 1:2).

نکته: نسبت ساده شده، در واقع رابطه بین تعداد دخترها و پسر ها را بیان می کند، به ازای هر دختر دو پسر وجود دارد نه اینکه دقیقاً 2 پسر و یک دختر در کلاس وجود دارد!

نکته: بعضی از نسبت ها را نمیتوان ساده کرد. برای مثال نسبت 3:56 را نمیتوان ساده کرد زیرا دو عدد هیچ عامل مشترکی ندارند.

2- استفاده از ضرب و تقسیم برای ایجاد نسبت های مساوی.

ضرب یا تقسیم عامل ها در یک عدد یکسان باعث ایجاد نسبت های مساوی با نسبت اولیه می شود.

به عنوان مثال، یک آشپز برای اینکه بتواند مقدار کیک را سه برابر کند باید نسبت آرد به شکر، 2 به 1  (2:1) را در 3 ضرب کند، که در این صورت نسبت جدید آرد به شکر 6 به 3 (6:3)خواهد بود.

* همین پروسه به صورت معکوس هم میتواند اجرا شود. اگر آشپز بخواهد مقدار کیک را نصف کند باید نسبت آرد به شکر را در 1/2 ضرب کند، یا اینکه مقدار آرد و شکر را بر 2 تقسیم کند.

در نتیجه نسبت آرد به شکر برابر 1 به 1/2 (0.5) خواهد بود.

3-محاسبه مقادیر مجهول در نسبت ها. یکی دیگر از مسائل مربوط به نسبت، سوالاتی است که در آن از شما خواسته می شود مقدار مجهول در نسبت را به دست آورید.

برای حل اینگونه مسائل کافی است که نسبت را به صورت کسری نوشته و مقادیر معلوم را در مقابل عدد مربوطه قرار داده و با استفاده از طرفین وسطین، مقدار مجهول را به دست آورید.

مثال: در یک کلاس نسبت تعداد پسر ها به دختر ها برابر 2 به 5 است، اگر تعداد دختر ها در این کلاس 20 نفر باشد، چند پسر در این کلاس حضور دارند؟

برای حل این سوال باید بدانید که نسبت 2 پسر به 5 دختر با نسبت x پسر به 20 دختر مساوی است.

این نسبت ها را به صورت کسری نوشته و آن ها را مساوی هم قرار می دهیم.

با استفاده از طرفین وسطین خواهیم داشت:5x=40

حالا برای به دست آوردن تعداد پسر ها کافی است 40 را بر 5 تقسیم کنیم، تعداد پسر ها برابر 8 خواهد بود.

مراقب این اشتباهات در محاسبه نسب ها باشید!

1 – نسبت ها را با یک مقدار مشخص جمع و تفریق نکنید. به عنوان مثال” در یک دستور آشپزی نسبت سیب زمینی به هویج برابر 4 به 5 می باشد،اگر بخواهیم در این دستور از 8 سیب زمینی استفاده کنیم به چند هویج نیاز خواهیم داشت؟”

بسیاری از دانش آموزان برای حل این مسائل،مقادیر نسبت را با یک مقدار مشخص جمع می کنند ، اما به این نکته توجه داشته باشید که برای اینکه نسبت این دو مقدار را نگه دارید باید از ضرب استفاده کنید نه جمع.

* روش اشتباه حل سوال
4=8-4،  4 سیب زمینی به دستور اضافه کردیم، پس باید 4 هویج به دستور اضافه کنیم!

* روش درست حل سوال
8 تقسیم بر 4 برابر 2 است،پس تعداد سیب زمینی ها در 2 ضرب شده است و این به این معناست که باید تعداد هویج ها را نیز در 2 ضرب کنیم.

پس تعداد هویج ها در این سوال برابر 10 خواهد بود.

2- یکسان سازی واحد ها. در بسیاری از مسائل مربوط به نسبت، با یکسان سازی واحد ها، مسئله ساده تر شده و به راحتی حل می شود.

در ادامه یک مسئله به همراه راه حل آن ذکر شده است:

یک اژدها 500 گرم طلا و 10 کیلو گرم نقره دارد. نسبت طلا و نقره که این اژدها، اندوخته است را به دست آورید؟

گرم و کیلو گرم واحدهای یکسانی نیستند، پس باید ابتدا واحد ها را یکسان کنیم.

1 کیلوگرم = 1,000 گرم ، پس 10 کیلوگرم = 10,000گرم

* اژدها 500 گرم طلا و 10,000 گرم نقره دارد .

* نسبت طلا به نقره :

1/20=5/100=500/10000

3- واحد هر عدد را بنویسید. در مسئله ها، بعد از نوشتن هر مقدار واحد آن را نیز بنویسید.

واحدهای یکسان در صورت و مخرج با هم ساده می شوند، بعد از ساده سازی میتوانید، واحد صحیح برای جواب را بنویسید.

* مثال: اگر 6 جعبه داشته باشید و در هر سه جعبه 9 مهره وجود داشته باشد ، چند مهره دارید ؟

* روش غلط:

این روش اشتباه است زیرا هیچ واحدی با هم ساده نمی شود.

روش درست:

سوال: نسبت پول محمد به علی 2 به 3 و نسبت پول علی به حسن 4 به 5 می باشد . نسبت پول این سه نفر را پیدا کن

حل: ابتدا باید صورت یا مخرج نسبت ها را یک عدد کنیم.

برای مثال پول محمد به علی برابر دو سوم و علی به حسن برابر چهار پنجم، کم ترین عدد مشترک بین مخرج ها  عدد ۱۵است.

دو سوم  صورت و مخرج را در ۵ ضرب میکنیم که میشود ده پانزدهم و چهار پنجم صورت و مخرج را در ۳ ضرب می کنیم که میشود دوازده پانزدهم.

حالا نسبت سه نفر را خواسته، اینجا یک عدد دوبار تکرار شده که پانزده هست اما باید فقط یک بار برای نسبت علی در نظر بگیریم

که در آخر سه نسبت مساوی با ۱۲و۱۵و۱۰ می باشد.

سوال: نسبت پول پرستو به نگار 4 است اگر اختلاف پول آنها 18000 تومان باشد پرستو چند تومان دارد.

حل:  اول جدول تناسب اختلاف رو رسم می کنیم. پرستو 4و نگار 1 است اختلاف 4 به 1می شود 3

مجموع اختلاف 18000تومان است 3×6000=18000

پس نتیجه می گیریم که 4×6000=24000 پول پرستو است

و 1×6000=6000 پول نگار است. جواب 24000 هزار تومان است

سوال: نسبت پول علی به برادرش ۸ به ۹ است.اگر مجموع پول آنها ۵۱۰۰۰ تومان باشد سهم هر یک را به دست اورید.

حل: برای حل این سوال باید از جدول تناسب استفاده کنیم. این جدول باید سه سطر داشته باشد سطر اول پول علی سطر دوم پول برادرش و سطر سوم جمع نسبت ها که برابر

8+9=17

مجموع پول انها 51000 تومان است پس عدد 51000 تومان را در جدول رو به روی 17 می نویسیم.

17 در 3000 ضرب شده پس پول علی برابر 8*3000=24000

و پول برادرش 9*3000=27000 است.

سوال: نسبت عدد ۵ به ۲ دو مثل عدد ۶۰ است به چه عددی است؟ 24

سوال: نسبت ۳ به ۴ مانند نسبت ۲۱ به چند است؟ 28

سوال: دوزاویه مکمل یک دیگرند نسبت اندازه های آنها ۲به ۳ است اختلاف این دو زاویه چند درجه است؟

مکمل یعنی جمع آنها 180 باشد. برای مثال 60 و 120 مکمل اند چون جمع آنها ۱80 است.

چون گفته نسبت 2 به 3 و چون با جمع دو زاویه سر و کار داریم پس2+ 3=5.

حال ۵ خانه مربعی کنار هم میکشیم و عدد 180 را به 5 قسمت مساوی تقسیم میکنیم.

حال در هر خانه چه عددی قرار می‌گیرد؟ جمع دو خانه برابر زاویه اول .

جمع سه خانه برابر زاویه دوم. حال زاویه اول و دوم چنده؟ حالا این دو زاویه از هم کم کن. 

سوال: اختلاف پول علی و محمد 5000 ریال است .اگر نسبت پول علی به محمد 7 به 5 باشد پول هر کدام چند ریال است؟

حل: برای حل این سوال باید از جدول تناسب استفاده کنیم. این جدول باید سه سطر داشته باشد سطر اول پول علی سطر دوم پول محمد و سطر سوم اخنلاف نسبت ها که برابر

7-5=2

اختلاف پول انها 5000 تومان است پس عدد 5000 تومان را در جدول رو به روی 2 می نویسیم.

2 در 2500 ضرب شده پس پول علی برابر 7*2500=17500

و پول محمد 5*2500=12500 است.

حتما بخوانید: حالت های همنهشتی در مثلث