چگونه ک.م.م دو عدد را بدست آوریم؟

چگونه ک.م.م دو عدد را به دست آوریم؟

 عملیات ضرب یعنی ضرب کردن یک عدد در یک عدد صحیح .

❓سوال: ک م م چیست؟

کوچکترین مضرب مشترک  یا ک م م در یک گروه از اعداد، کوچکترین عددی است که مضرب همه اعداد آن مجموعه می باشد.

برای پیدا کردن کوچکترین مضرب مشترک باید عامل مشترک را در بین اعداد داده شده بیابید.

✅روش بدست آوردن ک م م

روش های مختلفی برای به دست آوردن کوچکترین مضرب مشترک یا ک م م وجود دارد، از این روش ها میتوانید برای بدست آوردن ک م م بیشتر از دو عدد نیز استفاده کنید.

روش به دست آوردن بزرگترین مقسوم علیه مشترک (ب م م) و کوچکترین مضرب مشترک (ک م م) در فیلم فصل پنجم ریاضی هفتم آموزش داده شده است.

بخش هایی از این فیلم آموزشی را میتوانید در ویدئو زیر مشاهده نمایید:

روش اول به دست آوردن ک م م : نوشتن تمام مضارب

1️⃣بررسی عددهای داده شده. این روش زمانی که دو عدد کوچکتر از 10 داشته باشیم ، بهتر به جواب می رسد.

اگر اعداد داده شده بزرگتر از 10 هستند بهتر است از روش های دیگر برای به دست آوردن ک.م.م استفاده کنید.

مضرب چیست؟

• برای مثال اگر بخواهید ک.م.م دو عدد 5 و 8 را به دست آورید، چون از 10 کمتر هستند میتوانید از این روش استفاده کنید.

2️⃣ چند مضرب اول  عدد اول را بنویسید. مضارب یک عدد از حاصل ضرب آن عدد در عددهای طبیعی به دست می آید.

• به عنوان مثال چند مضرب اول عدد 5 عددهای 5,10,15,20,25,30,35,40,… هستند.

3️⃣ چند مضرب اول عدد دوم را بنویسید. سعی کنید مضارب عدد دوم را نزدیک به مضارب عدد اول به دست آورید.

• به عنوان مثال چند مضرب اول عدد 8 عددهای 8,16,24,32,40,… هستند.

4️⃣ کوچکترین مضرب مشترک دوعدد را پیدا کنید. ممکن است برای پیدا کردن ک.م.م دو عدد مضارب بیشتری از دو عدد را به دست آورید.

نوشتن مضارب را باید تا جایی ادامه دهید که به یک مضرب مشترک برای هر دو عدد برسید، این عدد کوچکترین مضرب مشترک دو عدد خواهد بود.

• برای مثال برای دو عدد 5 و 8 عدد 40 به عنوان کوچکترین مضرب مشترک دو عدد تعیین می شود.

روش دوم  ک.م.م از راه تجزیه

1️⃣ بررسی عددهای داده شده. این روش برای به دست آوردن ک.م.م عددهای بزرگتر از 10 مناسب است.

• برای مثال برای به دست آوردن کوچکترین مضرب مشترک دو عدد 20 و 84 میتوانید از این روش استفاده کنید.

2️⃣عدد اول را به عامل های اول تجزیه کنید. برای انجام این کار میتوانید از درخت تجزیه استفاده کنید. تجزیه اعداد را باید تا جایی ادامه دهید که به عامل های اول برسید.

• برای مثال تجزیه عدد 20 ابتدا به صورت ضرب 2*10 است.

حالا باید 10 را تجزیه کنیم که به عدد 2*5 می رسیم، پس تجزیه عدد 20 برابر 5*2*2 است.

3️⃣ عدد دوم را نیز به عامل های اول تجزیه کنید. عدد دوم را نیز به همان صورت به عامل های اول تجزیه می کنیم.

• برای مثال تجزیه عدد 84 برابر 2*7*2*3 است.

4️⃣ هر عدد را به صورت عامل های اول بنویسید. اگر از نمودار درختی برای این کار استفاده می کنید فقط عددهای موجود در شاخه های درخت را یادداشت کنید .

• برای مثال در تجزیه عدد 20 ، نیازی به نوشتن عدد 10 نیست، زیرا 10 به دو عدد 5 و2 تجزیه می شود و بایستی عدد 2 و5  به جای 10 نوشته شوند.

5️⃣ عامل هایی که در هر دو عدد مشترک هستند را با هم خط بزنید و آن را بنویسید.

• برای مثال عدد 2 در در هر دو عدد مشترک هست پس آن را مینویسیم.

بعد از نوشتن هر عامل مشترک بین آنها علامت ضرب قرار می دهیم. عامل های غیر مشترک در هر دو عدد را به حاصل ضرب اضافه کنید. 

• در این مثال جمله ضرب برابر :.

6️⃣ کوچکترین مضرب مشترک را بدست آورید. برای بدست آوردن ک.م.م کافی است تمام عددها را در هم ضرب کنید.

• در این مثل کوچکترین مضرب مشترک دو عدد 20 و84 برابر 420 است.

روش سوم بدست آودن ک م م  استفاده از روش شبکه یا نردبان

1️⃣ یک شبکه همانند بازی دوز رسم کنید. در بازی دوز سه خط افقی و سه خط عمودی رسم میکنیم که همدیگر را قطع می کنند.(مشابه تصویر)

عدد اول را در مربع وسط از سطر اول و عدد دوم را در مربع سمت راست آن بنویسید.

• برای مثال اگر میخواهید ک.م.م دو عدد 18 و 30 را به دست آورید، عدد 18 را باید در مربع وسط سطر اول و عدد 30 را در مربع سمت راست 18 بنویسید.

2️⃣ عدد را که ضریب هر دو عدد است را بدست آورید. میتوانید با استفاده از روش تجزیه درختی این عدد را به دست آورید.

کوچکترین عددی که در ضرب هر دو عدد وجود دارد را در مربع سمت چپ عدد اول (18) قرار دهید.

3️⃣ دو عدد را بر این مضرب مشترک تقسیم کنید.

خارج قسمت تقسیم هر عدد بر عامل مشترک را در مربع های زیر قرار دهید.

• برای مثال حاصل است که 9 را در مربع زیر 18 مینویسیم همچنین که 15 را در مربع زیر 30 مینویسیم.

4️⃣ مضرب مشترک دو عدد را به دست آورید. اگر دو عدد موجود در سطر دوم عامل مشترک ندارند از این مرحله صرف نظر کنید.

• در این مثال دو عدد 9 و15 دارای عامل مشترک 3 هستند، پس 3 را در مربع سمت راست 9 قرار می دهیم. 

5️⃣ هر دو عدد را بر این عامل مشترک تقسیم کنید. بعد از تقسیم هر عدد بر عامل مشترک خارج قسمت آن را در زیر خود عدد بنویسید.

• به عنوان مثال  3 را زیر 9 در شبکه و 5 را زیر 15 بنویسید.

6️⃣ اگر لازم است شبکه را گسترش دهید. این روند را تا جایی ادامه دهید که دو عدد موجود در سطر آخر عامل مشترک نداشته باشند.

7️⃣ در اطراف اعداد موجود در ستون اول و سطر آخر خط بکشید. همانطور که در تصویر میبینید یک خط به شکل L در اطراف عددهای موجود در ستون اول و سطر دوم رسم میکنیم.

اعداد موجود در این محدوده را در هم ضرب می کنیم.

• برای مثال در ستون اول 2 و 3 و در سطر آخر 3 و5  وجود دارند که آنها را  در هم ضرب می کنیم.

8️⃣ اعداد را در هم ضرب کنید.  با ضرب کردن اعداد در یکدیگر کوچکترین مضرب مشترک دو عدد به دست می آید.

• در این مثال حاصل برابر است.
  

   

روش چهارم بدست آودن ک م م : استفاده از الگوریتم اُکلید

1️⃣ مفهوم تقسیم .در تقسیم مقسوم بر مقسوم علیه تقسیم میشود و خارج قسمت همان جواب  مساله است،باقی مانده مقداری ست که از تقسیم  بر جا میماند.

در این روش ابتدا بزرگترین مضرب مشترک دو عدد را به دست می آوریم و سپس با استفاده از آن کوچکترین مضرب مشترک را محاسبه می کنیم.

• به عنوان مثال در :
  ۱۵ مقسوم
  ۶ مقسوم علیه
  ۲ خارج قسمت
  ۳ باقی مانده
  میباشد.

2️⃣ برای به دست آوردن کوچکترین مضرب مشترک میتوان از فرمول زیر که به الگوریتم اُکلید معروف است استفاده می کنیم:

مقسوم=مقسوم علیه * خارج قسمت+باقی مانده

• به عنوان مثال  :.

3️⃣ از عدد بزرگتر به عنوان مقسوم و از عدد کوچکتر به عنوان مقسوم علیه استفاده می کنیم.

• برای مثال اگر بخواهید ک.م.م دو عدد 210 و 45 را به دست آورید باید مقدار 

را محاسبه کنید.

4️⃣ مقسوم علیه تقسیم قبلی را به جای مقسوم تقسیم جدید و باقی مانده تقسیم قبلی را به عنوان مقسوم علیه تقسیم جدید قرار دهید.

• در مثل قبلی داریم:

5️⃣ این روند را تا جایی ادامه دهید که مقدار باقی مانده برابر با صفر شود.

• در مثال قبلی30=15*2+0 چون باقی مانده برابر صفر شد، فرایند تقسیم را متوقف می کنیم.

6️⃣ آخرین مقسوم علیه استفاده نشده بزرگترین مقسوم علیه مشترک دو عدد است.

• در این مثال چون 15 آخرین مقسوم علیه و باقی مانده صفر میباشد، فرایند متوقف شده است. 

پس 15 بزرگترین مقسوم علیه مشترک دو عدد 210 و 45 است.

7️⃣ دو عدد را در یکدیگر ضرب کنید. دو عدد را در هم ضرب کنید و سپس حاصل آن را بر بزرگترین مضرب مشترک  تقسیم کنید. عدد حاصل ک م م دو عدد خواهد بود.

• در این مثال حاصل ضرب 45*210=9450 است و حاصل تقسیم این عدد بر 15 برابر 630 است که همان کوچکترین مضرب مشترک دو عدد است.

❓سوال: ک م م دو عدد اول برابر است با …؟ ک م م دو عدد اول برابر است با حاصل ضرب آن دو عدد.

✅مثال: ک م م 2و3 برابر 6 است.

❓سوال: با توجه به اینکه حاصل ضرب دو عدد برابر با حاصل ضرب ک.م.م و ب.م.م دو عدد است ک.م.م دو عدد ۳۲و ۴۸ را با استفاده از ب.م.م بیابید؟

معمولا این روش رو روش کسری میگویند.
یعنی عدد هایی‌ که قرار ک .م.م آنها را به دست بیاوریم در صورت کسر قرار گرفته و برهم ضرب میشوند و ب.م.م ان دو عدد در مخرج کسر قرار گرفته و بر صورت آن تقسیم میشود
۱۶=(۳۲و۴۸)
۱۵۳۶=۴۸×۳۲
۹۶=۱۶÷۱۵۳۶
96=[32و۴۸]
که در حالت کسری ،کسر ها ساده میشن

🟢 حتما بخوانید: چطور ب.م.م دو عدد را بدست آوریم؟