فاکتور گیری چند جمله ای درجه 3

چطور از یک چند جمله ای درجه 3 فاکتور بگیریم؟ برای رسیدن به پاسخ این سوال در ادامه مطلب با عینکی همراه باشید.

فاکتورگیری چند جمله ای درجه 3 بوسیله گروه بندی

۱- چندجمله ای درجه 3  را به دو گروه تقسیم کنید.

تبدیل چندجمله ای درجه 3 به دو گروه باعث میشود هر گروه را بتوان به طور جداگانه حل کرد.
در اینجا چند جمله ای درجه سه  x³ + 3x² – 6x – 18 = 0  را بررسی میکنیم و آن را به دو گروه (x³+ 3x²) و  ( 6x – 18-) تقسیم می کنیم.

۲- عامل مشترک را در هر گروه بیابید.

• در  (x³ + 3x²)، عامل مشترک x² است. 

• در (6x – 18-) عامل مشترک 6- است.

۳- عامل مشترک را از هر دو جمله جدا کنید.

در عبارت اول عامل مشترک یعنی x² را از گروه جدا می کنیم تا به عبارت  (x²(x + 3 تبدیل شود.

در عبارت دوم عامل مشترک یعنی 6- را از گروه جدا می کنیم تا عبارت به 6-(x + 3) تبدیل شود.

۴- اگر هر دو عبارت دارای عامل های یکسانی باشند میتوان آنها را باهم ترکیب کرد.

در این مثال داریم:

• (x + 3)(x² – 6)

۵- ریشه های هر دو عبارت را بدست آورید.

دقت کنید که اگر در عبارت عامل x² داشته باشید این عبارت دارای دو ریشه منفی و مثبت است. پس ریشه های این عبارت برابر است با

•  -3, 6√ و -6√
  

   

از عبارت آزاد فاکتور بگیرید.

۱- معادله درجه 3 را  به صورت استاندارد ax³+bx²+cx+d بنویسید.

به عنوان مثال عبارت x³ – 4x² – 7x + 10 = 0 را در نظر بگیرید.

۲- مقدار عبارت  d را در چند جمله ای درجه 3 پیدا کنید.

در کنار عدد ثابت d، هیچ متغیر x وجود ندارد. حال دو عدد را بیابید که ضرب آنها برابر d شود. در این مثال دو عدد که حاصل ضرب آنها برابر 10 شود یعنی 5و2 یا 1و10 را میتوان برای d در نظر گرفت.

۳- یکی از مقادیری که مقدار چند جمله ای درجه 3 را مساوی صفر قرار می دهد را به جای x قرار می دهیم.

با ضریب ۱ شروع میکنیم، ۱ را در تساوی به جای x قرار دهید.

• 0= 10 + (1)7 – ²(1)4 – ³(1)
• 0=1 – 4 – 7 + 10

چون مقدار تساوی برابر 0=0 است ،پس ۱  ریشه معادله درجه 3 است.

۴- عبارت درجه 3 را دوباره مرتب کنید.

اگر1=x باشد، میتوانید بدون تغییر در اصل عبارت، عبارت را مجدد مرتب کنید.
عبارت 1=x با 0=1-x یا (1-x) یکسان است، فقط باید دو طرف معادله را منهای یک کنید.

۵- ریشه را از بقیه معادله فاکتورگیری کنید.

 عبارت (1-×) ریشه معادله است، اگر بتوانید از معادله این عبارت را فاکتور بگیرید، یک چند جمله ای خواهید داشت.

آیا میتوانید عبارت (1-x) ازx³ فاکتور بگیرید؟ خیر، اما میتوانید a -x² را از عبارت دوم قرض بگیرید. پس عبارت به x²(x – 1) = x³ – x² تبدیل خواهد شد.

آیا میتوانید عبارت (1-x) را از بقیه متغیر دوم فاکتور بگیرید؟خیر.
 برای فاکتور گیری میتوانید 3x را از 7x- قرض بگیرید، پس داریم :

• 3x(x – 1) = -3x² + 3x-

  از آنجایی که  یک 3x را از 7x- گرفته اید ،متغیر سوم 10x- و عدد ثابت 10میباشد.
  میتوانید از این عبارت فاکتور بگیرید؟بله

• (x – 1)(-10) = (-10x + 10).

تا اینجا توانستیم از عبارت فاکتور بگیریم، با مرتب کردن عبارت به معادله

• x³ – x² – 3x² + 3x – 10x + 10 = 0

می رسیم اما همچنان معادله مشابه  x³ – 4x² – 7x + 10 = 0

۶- جایگزینی ضرایب در معادله درجه 3 را ادامه دهید.

به عبارتی که در مرحله ۵ با استفاده از 1-x فاکتور گیری کردید،برمیگردیم.
 میتوانید عبارت x²(x – 1) – 3x(x – 1) – 10(x – 1) = 0 را به صورت

x – 1)(x² – 3x – 10) = 0) بنویسید یعنی از (x – 1) فاکتور بگیرید.

از عبارت (x² – 3x – 10) فاکتور گیری کنید تا به عبارت (x + 2)(x – 5) برسید.

۷- ریشه های این عبارات پاسخ معادله می باشد.

 کافی است معادله x – 1)(x + 2)(x – 5) = 0) را برابر صفر قرار دهیم ریشه های معادله برابر: 5و2- و1 خواهد بود.

حال این ریشه ها را درون معادله اصلی جایگذاری میکنیم:
 معادله درجه سوم به ازای 2-=x برابر:

• 0= 10+ 14 + 16 – 8- =  10 + (2-)7- ²(2-)4 –³(2-)
   

معادله درجه سوم به ازای 5=x برابر:

• 0= 10+ 35 – 100 – 125 =  10 + (5)7- ²(5)4 –³(5)

حتما بخوانید: چطور یک عدد را گرد کنیم؟