چطور دامنه یک تابع را پیدا کنیم؟

دامنه تابع مجموعه ای از اعداد است ، که میتواند در تابع به جای x قرار بگیرند.

مجموعه اعداد y برد تابع نامیده می شود.

برای به دست آوردن دامنه توابع رادیکالی، توابع چند جمله ای، توابع کسری و …  با عینکی همراه باشید.

•  مفاهیم پایه در رابطه با دامنه تابع را فرا بگیرید.

1- تعریف دامنه تابع

دامنه شامل تمام مقادیری است که به عنوان ورودی به یک تابع داده می شود و برد مجموعه تمام مقادیری است که به عنوان خروجی از تابع گرفته می شود.

به عبارت دیگر دامنه مجموعه ای از مقادیر x می باشد که میتواند در تابع قرار گرفته و مقدار y را تولید کند.

۲- پیدا کردن دامنه  توابع مختلف

روش پیدا کردن دامنه برای توابع مختلف متفاوت است، قبل از اینکه دامنه یک تابع را به دست آورید باید نوع تابع را تعیین کنید.

• دامنه توابع چند جمله ای غیر رادیکالی و کسری

دامنه این نوع توابع مجموعه اعداد حقیقی یا R است.

• دامنه توابع کسری

برای پیدا کردن دامنه توابع کسری ، مخرج را مساوی با صفر قرار داده و با حل معادله مقادیر X را به دست می آوریم.

• دامنه توابع رادیکالی

برای به دست آوردن دامنه توابع رادیکالی ، کافی است عبارت زیر رادیکال را بزرگتر از صفر قرار داده و معادله را حل کنیم، مقادیر به دست آمده برای X دامنه تابع را مشخص می کند.

• دامنه توابع لگاریتمی ( log )

برای به دست آوردن دامنه توابع لگاریتمی، کافی است عبارت موجود در پرانتز جلوی لگاریتم را بزرگتر از  صفر قرار داده و معادله را حل کنید.

• به دست آوردن دامنه از روی نمودار

قسمت هایی از نمودار که بر روی محور X ها منطبق می شوند دامنه آن را مشخص می کنند.

• دامنه توابع زوج مرتبی

دامنه این توابع مقادیر مولفه های اول یا X ها می باشد.

3- دامنه تابع را به درستی نمایش دهید.

به دست آوردن دامنه تابع ساده است، اما مهترین نکته در تعیین دامنه توابع ، نحوه نمایش و یا نوشتن آن است.

• برای نوشتن دامنه یک تابع از نماد پرانتز یا براکت و یا ترکیبی از آنها استفاده می شود، که مقادیر داخل آن به وسیله یک کاما از هم جدا می شود.

  به عنوان مثال در  (1,5-] دامنه بین 1- و 5 میباشد.

• از علامت براکت [] زمانی استفاده می کنیم که دامنه شامل هر دو عدد باشد، برای مثال در (1,5-]  دامنه شامل عدد 1- است اما 5 جز دامنه نیست.

• از علامت اجتماع (U) زمانی استفاده می کنیم که بخواهیم بخش های مختلف دامنه را به هم وصل کنیم.

به عنوان مثال اگر دامنه مجموعه اعداد بین 1- تا 10 باشد اما 5 جز این دامنه نباشد، دامنه تابع را به این صورت بیان می کنیم:

[5,10)  [-1,5) U

• در صورتی که دامنه از هر دو طرف بی نهایت باشد می توانید از بی نهایت  مثبت و منفی استفاده کنید.

البته توجه داشته باشید که برای نماد بی نهایت باید از علامت پرانتز استفاده کنید نه براکت.

• به دست آوردن دامنه توابع کسری

1- به عنوان مثال در اینجا دامنه تابع (f(x) = 2x/(x² – 4 را به دست می آوریم.

2- برای به دست آوردن دامنه توابع کسری باید عبارت مخرج را مساوی صفر قرار دهید، زیرا مقدار مخرج هیچگاه نباید صفر شود.

(f(x) = 2x/(x² – 4

x² – 4 = 0

x – 2 )(x + 2) = 0)

(x ≠ (2, – 2

3- در این مثال دامنه شامل مجموعه همه اعداد حقیقی به جز 2 و -2 است.

• دامنه توابع رادیکالی

1- در این مثال میخواهیم دامنه تابع (Y =√(x-7را به دست آوریم.

2- عبارت زیر رادیکال را بزرگتر یا مساوی صفر قرار می دهیم، دقت کنید که اعداد منفی ریشه دوم ندارد.

x-7 ≧ 0

نکته : از این روش میتوانید برای تمامی عبارت های رادیکالی با فرجه زوج استفاده کنید، اعداد منفی برای تمام رادیکال ها با فرجه زوج ریشه ندارند.

 3- متغیر را به یک طرف معادله انتقال دهید

X را در سمت چپ معادله قرار داده و به هر دو طرف معادله عدد 7 را اضافه کنید. این کار را برای این انجام می دهیم که X به تنهایی در سمت چپ قرار بگیرد.

4- دامنه تابع رادیکالی را به درستی بیان کنید.

دامنه تابع برابر (∞,D = [7

دقت کنید که دامنه برابر اعداد بزرگتر یا مساوی 7 است پس عدد 7 عضو دامنه است و آن را با براکت نشان می دهیم.

در سمت راست عبارت بی نهایت قرار دارد که همانطور که گفته شد باید با علامت پرانتز نشان داده شود.

5- به دست آوردن دامنه توابع رادیکالی با عبارت درجه 2

به عنوان مثال برای دامنه تابع  (Y = 1/√( ̅x² -4 وقتی مخرج را بزرگتر یا مساوی صفر قرار می دهید مقادیری که برای X به دست می آید (x ≠ (2, – 2
حالا باید اعداد کمتر از 2- (به عنوان مثال 3-) را به جای X قرار دهیم و بررسی کنیم آیا حاصل مقداری بزرگتر از صفر است یا خیر:

• ²(-3) – 4 = 5

حال اعداد بین 2- و 2 را بررسی کنید.(صفر را قرار دهید.)

• 0² – 4 = -4

پس اعداد بین 2- و 2 جواب ندارند.

حال اعداد بیشتر از 2 مانند ‌3 را بررسی کنید.

• 3² – 4 = 5

پس اعداد بیشتر از 2 جواب دارند.

پس دامنه (∞,D = (-∞, -2) U (2 است.

• پیدا کردن دامنه توابع  log

1- در این مثال می خواهیم دامنه تابع (f(x) = ln(x-8 را به دست بیاوریم.

2- عبارت درون پرانتز را بزرگتر از 0 قرار میدهیم.

log باید یک عدد مثبت باشد،به همین دلیل باید عبارت بزرگتر از صفر باشد.

• x-8>0

3- حل معادله

 +8 را به هر دو طرف معادله اضافه کنید تا X به تنهایی در سمت چپ معادله قرار بگیرد.

• x – 8 + 8 > 0 + 8
• x > 8

4- دامنه تابع لگاریتمی را بیان کنید.

دامنه این تابع برابر همه اعداد بزرگتر از 8 تا بی نهایت میباشد.

• (∞,D = (8

• به دست آوردن دامنه تابع از روی نمودار

1- به نمودار دقت کنید.

2- محدوده X هایی که درون نمودار قرار دارد را بررسی کنید.

البته باید چند نکته را در نظر داشته باشید.

•  خطی که روی محور X ها قرار گرفته نشان می دهد که دامنه تمامی اعداد حقیقی را شامل می شود.

• اگر یک سهمی رو به بالا یا پایین دارید، پس دامنه مجموعه تمام اعداد حقیقی است چون تمام X ها را شامل می شود.

• روش غیر مستقیم، در این مثال یک سهمی با مختصات راس (4,0) داریم، پس دامنه برابر (∞,D = [4 خواهد بود.

3- دامنه را بیان کنید.

بر اساس نوع نمودار دامنه را تعیین کنید.

• به دست آوردن دامنه توابع زوج مرتبی

1- تابع زوج مرتبی {(1, 3), (2, 4), (5, 7)} را در نظر بگیرید.

2- مولفه های اول زوج مرتب ها را بنویسید. 1,2,5

3- دامنه همان مولفه های اول زوج مرتب ها یعنی {D = {1, 2, 5 است.

4- مطمئن شوید رابطه داده شده یک تابع است.

یک رابطه زمانی تابع است که به ازای یک مقدار برای X یک مقدار برای Y به دست آید.

به عنوان مثال این رابطه  {(4, 1),(5, 3),(5, 1)} تابع نیست زیرا به ازای  مقدار 1 برای X دو مقدار برای Y به دست می آید.

حتما بخوانید: چگونه مجموع جملات دنباله حسابی را بدست آوریم؟